Aljabar bebas

Dalam matematika, khususnya dalam cabang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori gelanggang, aljabar bebas merupakan analog tak komutatif dari gelanggang polinomial. Unsur-unsur dalam aljabar bebas dapat dipandang sebagai "polinomial" yang variabel-variabelnya tidak saling komutatif, artinya urutan variabel memengaruhi hasil.

Sebaliknya, gelanggang polinomial biasa dapat dianggap sebagai aljabar bebas komutatif, di mana variabel-variabelnya saling komutatif, sehingga urutan variabel tidak memengaruhi hasil operasi.

Pengertian

Dalam aljabar abstrak, aljabar bebas atas suatu gelanggang komutatif R (dengan sifat asosiatif dan memiliki elemen identitas atau unital) pada n simbol tak tentu {X₁,...,X_n}, didefinisikan sebagai modul bebas R dengan basis yang terdiri dari semua kata yang dapat dibentuk dari alfabet {X₁,...,X_n}. Basis ini mencakup juga kata kosong, yang berfungsi sebagai elemen identitas dalam aljabar tersebut.

Modul bebas ini diperlengkapi dengan struktur aljabar R melalui perkalian yang didefinisikan sebagai penggabungan kata. Perkalian antara dua elemen basis dilakukan dengan menggabungkan kata-kata yang bersesuaian, sebagai berikut:

\left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},

Untuk dua elemen sebarang dari modul R, hasil kali ditentukan secara unik karena perkalian dalam aljabar R harus bersifat bilinear terhadap R. Aljabar yang dihasilkan dari konstruksi ini dilambangkan dengan: R⟨X₁,...,X_n⟩ Konstruksi ini dapat digeneralisasi untuk himpunan tak tentu sembarang X, bukan hanya yang himpunan berhingga.

Definisi Umum

Secara umum, untuk suatu himpunan sembarang $X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}$ , aljabar bebas atas R yang bersifat asosiatif dan unital dilambangkan dengan:

R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw

di mana:

X∗ menyatakan monoide bebas yang dihasilkan oleh X, yaitu semua kata hingga (termasuk kata kosong) yang dibentuk dari simbol dalam X,
Simbol ⨁ menyatakan jumlah langsung eksternal,
Rw menyatakan salinan R modul bebas untuk setiap kata w.

Perkalian dalam aljabar ini didefinisikan sebagai penggabungan rangkaian, dan bersifat pemetaan bilinear terhadap R.

Contoh

Misalnya, dalam aljabar bebas R⟨X₁,X₂,X₃,X₄⟩, untuk skalar α, β, γ, δ ∈ R, suatu contoh konkret dari hasil perkalian dua elemen adalah sebagai berikut:

$(\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4})$

Hubungan dengan Gelanggang monoid

Aljabar bebas tidak komutatif juga dapat dipandang sebagai gelanggang monoid dalam R, di mana monoide yang dimaksud adalah semua kata hingga dari alfabet

X. Aljabar bebas menyediakan suatu cara untuk membentuk gelanggang polinomial tidak komutatif atas himpunan pembangkit sembarang.

Kontras dengan Gelanggang Polinomial

Karena kata-kata atas alfabet {X₁, ...,X_n} membentuk basis dari aljabar bebas R⟨X₁,..., maka setiap elemen dari aljabar tersebut dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk:

\sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

di mana $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ merupakan elemen-elemen dari ring R, dan hanya sejumlah terbatas dari elemen tersebut yang bernilai bukan nol.

Bentuk ini menjelaskan mengapa elemen-elemen dalam R⟨X₁,...,Xn⟩ sering kali disebut sebagai polinomial tidak komutatif. Dalam konteks ini, simbol-simbol X₁,...,Xn berfungsi sebagai variabel, sedangkan koefisien-koefisien $a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ berasal dari gelanggang komutatif R. Aljabar R⟨X₁,...,X_n⟩ ini disebut sebagai aljabar polinomial tidak komutatif pada R dengan n variabel.

Berbeda dengan gelanggang polinomial biasa, dalam aljabar bebas variabel tidak saling menukar posisi. Sebagai contoh, X₁X₂ tidak sama dengan X₂X₁, karena urutan penulisan mempengaruhi hasil perkalian.

Konstruksi Umum

Secara lebih umum, seseorang dapat membangun aljabar bebas R⟨E⟩ untuk himpunan generator sembarang E. Karena sebuah gelanggang dapat dianggap sebagai aljabar atas Z, maka aljabar bebas atas Z dengan himpunan E dilambangkan dengan Z⟨E⟩.

Jika R adalah sebuah medan, maka aljabar bebas atas n tak tentu dapat dikonstruksi sebagai aljabar tensor dari suatu ruang vektor berdimensi n. Untuk persamaan linear gelanggang yang lebih umum, pendekatan serupa dapat dilakukan dengan menggunakan modul bebas pada R dengan jumlah generator sebanyak elemen E.

Sifat Universal

Aljabar bebas memenuhi sifat universal: untuk setiap fungsi, di mana adalah aljabar atas medan, terdapat satu-satunya homomorfisme aljabar yang memperluas. Artinya, adalah "aljabar paling umum" yang mengandung tanpa syarat tambahan.

Hubungan dengan Teori Kategori

Dalam Teori bilangan aljabar, aljabar bebas merupakan funktor kiri adjungsi terhadap funktor fogetful dari kategori bilangan aljabar ke aljabar himpunan. Ini berarti bahwa aljabar bebas memberikan struktur aljabar yang "paling bebas" atas suatu himpunan.

Aplikasi

Ilmu komputer: digunakan untuk merepresentasikan ekspresi simbolik, bahasa formal, dan struktur pohon ekspresi.
Logika matematika: muncul dalam teori bilangan aljabar dan sistem pembuktian otomatis.
Teori basis data: digunakan dalam manipulasi bahasa kueri.
Komputasi simbolik: aljabar bebas digunakan untuk merepresentasikan ekspresi yang belum disederhanakan.

Aljabar Bebas atas Gelanggang Pembagian

Aljabar bebas atas gelanggang pembagian menghasilkan gelanggang pembagian, yang penting dalam teori gelanggang dan teori representasi.

Lihat juga

Referensi

(Inggris) Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011). Noncommutative rational series with applications. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. p.137. ISBN 978-0-521-19022-0.
L.A. Bokut' (2001) [1994], "Free associative algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.